Seien \(g\colon (\Omega, \mathcal{A})\to (S, \mathcal{S})\) messbar und \(B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\). Dann ist \(f\colon (\Omega, \mathcal{A})\to (B, \mathcal{B}(B))\) genau dann \(\sigma(g)\)-messbar, wenn eine messbare Abbildung \(\varphi\colon (E, \mathcal{E})\to (B, \mathcal{B}(B))\) existiert, sodass
\begin{equation*} f=\varphi \circ g. \end{equation*}Wir zeigen die Rückrichtung. Da die Abbildung \(f\) \((B, \mathcal{B})\)-messbar ist, ist sie insbesondere \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\)-messbar. Folglich existiert wegen des klassischen Faktorisierungslemmas eine messbare Funktion \(\tilde{\varphi}\colon (S, \mathcal{S}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\), sodass \(f=\tilde{\varphi} \circ g\).
Wir wählen \(b\in B\) und setzen \(\varphi = \tilde{\varphi} \mathbbm{1}_{\tilde{\varphi}^{-1}(B)}+ b \mathbbm{1}_{\tilde{\varphi}^{-1}(B)^\mathsf{c}}\). Diese Funktion ist \((S, \mathcal{S})\)-\((B, \mathcal{B}(B))\) messbar und da \(\im g \subset \tilde{\varphi}^{-1}(B)\), folgt \(\varphi \circ g=f\).