Seien \(g\colon (\Omega, \mathcal{A})\to (S, \mathcal{S})\) messbar und \((T, \mathcal{T})\) ein Borel Raum. Dann ist \(f\colon (\Omega, \mathcal{A})\to (T, \mathcal{T})\) genau dann \(\sigma(g)\)-messbar, wenn eine messbare Abbildung \(\varphi\colon (E, \mathcal{E})\to (T, \mathcal{T})\) existiert, sodass
\begin{equation*} f=\varphi \circ g. \end{equation*}Wir zeigen die Rückrichtung. Da \((T, \mathcal{T})\) ein Borel Raum ist existiert ein \(B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) sowei ein Messraum-Isomorphismus \(\psi\colon (T, \mathcal{T})\to (B, \mathcal{B}(B))\). Wir betrachten \(\tilde{f}=\psi \circ f\). Dann ist \(\tilde{f}\) \(\sigma(g)\)-messbar mit Werten in \(B\). Gemäß des Faktorisierungslemmas für Borel Mengen existiert eine messbare Funktion \(\tilde{\varphi}\colon (S, \mathcal{S})\to (B, \mathcal{B}(B))\) mit \(\tilde{f}=\tilde{\varphi}\circ g\) und wir erhalten
\begin{equation*} f=\psi^{-1}\circ \tilde{f}=\psi^{-1}\circ \tilde{\varphi} \circ g. \end{equation*}Die Abbildung \(\varphi = \psi^{-1}\circ\tilde{\varphi}\) erfüllt alle geforderten Eigenschaften.